ベクトル図の使い方

ベクトル図の概要

ベクトル図に慣れよう

交流を扱う場合、ベクトル図が重宝します。
一見わかりにくいですが、覚えてしまえばこんなに便利なものはありません。
図１

図１はベクトル図（左）と交流５０Ｈｚ１００Ｖのグラフ（右）です。
０秒のときに交流１００Ｖをかけたとすると、０秒の瞬間は０Ｖです。
この状態の０．００５秒後は図２の様になります。
図２

同様に０．００５秒後は図３の様になります。
図３

そして０．００５秒後は
図４

このようにベクトル図は正弦波交流の変化を表しています。ベクトル図の矢印は反時計回りとなります。そして、矢印が１周すると１周期となります。

電圧と電流の位相

遅れと進みの考え方

それでは、交流５０Ｈｚ１００Ｖにコイル（インダクタンス）を接続し、５０Ａが流れた場合を考えます。
図５

インダクタンスに電圧を掛け電流を流すと、電流は電圧より９０°遅れます。
図６のベクトル図を見ると電流ベクトル（青）が電圧ベクトル（赤）より９０°、時計まわり方向にずれています。
図６

ベクトル図は半時計まわり方向に回転しますので、この状態は
電流ベクトル（青）が電圧ベクトル（赤）より９０°遅れている
と言います。
先ほどと同様、０．００５秒後は図７のとおりになります。
図７

ちなみにインダクタンスの代わりにコンデンサを接続した場合は、
電流ベクトル（青）が電圧ベクトル（赤）より９０°進む
ので、
ベクトル図では電流ベクトル（青）が電圧ベクトル（赤）より９０°、反時計まわり方向にずれることになります。
ベクトル図は交流の電圧と電流の位相を考えるときにわかりやすいので積極的に活用しましょう。

ベクトルの表し方

複素数表示

図８

図８はベクトルＡの図です。
このベクトルＡ（以下ベクトルＡを’Ａと表記）の先端の点は（ａ，ｂ）と表せます。そしてｘ軸は実数、ｙ軸は虚数を目盛ってありますので、
’Ａ＝ａ＋ｊｂとなります。これを複素数表示といいます。
複素数表示にはｊという虚数単位を使用します。
数学ではｉと習ったと思いますが、電気数学ではｉは電流と混同されやすいため、ｊとしています。ｊはｉと同じ意味です。
ｊ＝√−１ですので、すべての虚数はｊ（実数）という形で表すことができます。
’Ａ＝ａ＋ｊｂですので、’Ａの大きさＡは三平方の定理より
Ａ＝√（ａ^２＋ｂ^２）
となります。
そして’Ａとｘ軸のなす角θは
θ＝ｔａｎ^−１　ｂ／ａ
となります。

極形式表示

図８

図８より
ａ＝Ａｃｏｓθ
ｂ＝Ａｓｉｎθ
ですので、
’Ａ＝Ａｃｏｓθ＋ｊＡｓｉｎθ
と表すことができます。これを極形式といいます。
また、
ｃｏｓθ＋ｊｓｉｎθ＝ε^ｊθ
という公式があります。これをオイラーの公式といいます。
よって
’Ａ＝Ａｃｏｓθ＋ｊＡｓｉｎθ＝Ａε^ｊθ
となります。これを指数形の極形式といいます。

極座標表示

図８

ベクトルＡの大きさをＡとすると
’Ａ＝Ａ∠θ°
と表すことができます。これを極座標表示といいます。

３相交流のベクトル

ベクトル図は３相交流を考える際に重宝します。図９のような対称３相交流電源があったとします。
図９

各電圧をベクトル図に表示すると図１０のようになります。
図１０

仮に６．６ｋＶ配電線で考えると、線間電圧＝６６００［Ｖ］なので相電圧Ｅは、
Ｅ＝６６００／√３≒３８１０．５
’Ｅａ＝３８１０．５
図１１

’Ｅａ＝３８１０．５より’Ｅａの大きさＥａ＝３８１０．５になります。
また、各相電圧の大きさは対称３相電源であるため等しいので
Ｅａ＝Ｅｂ＝Ｅｃ
’Ｅａ、’Ｅｂ、’Ｅｃのなす角はそれぞれ１２０［°］なので、
’Ｅｂ＝−１／２Ｅａ−ｊ√３／２Ｅａ＝−１９０５．３−ｊ３３００
’Ｅｃ＝−１／２Ｅａ＋ｊ√３／２Ｅａ＝−１９０５．３＋ｊ３３００
となります。

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