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ベクトル図の使い方


ベクトル図の概要

ベクトル図に慣れよう

交流を扱う場合、ベクトル図が重宝します。
一見わかりにくいですが、覚えてしまえばこんなに便利なものはありません。
図1
単相交流のベクトル図
図1はベクトル図(左)と交流50Hz100Vのグラフ(右)です。
0秒のときに交流100Vをかけたとすると、0秒の瞬間は0Vです。
この状態の0.005秒後は図2の様になります。
図2
単相交流のベクトル図1
同様に0.005秒後は図3の様になります。
図3
単相交流のベクトル図2
そして0.005秒後は
図4
単相交流のベクトル図3
このようにベクトル図は正弦波交流の変化を表しています。ベクトル図の矢印は反時計回りとなります。そして、矢印が1周すると1周期となります。

電圧と電流の位相

遅れと進みの考え方

それでは、交流50Hz100Vにコイル(インダクタンス)を接続し、50Aが流れた場合を考えます。
図5
交流電源とインダクタンス
インダクタンスに電圧を掛け電流を流すと、電流は電圧より90°遅れます。
図6のベクトル図を見ると電流ベクトル(青)が電圧ベクトル(赤)より90°、時計まわり方向にずれています。
図6
電圧と遅れ電流1
ベクトル図は半時計まわり方向に回転しますので、この状態は
電流ベクトル(青)が電圧ベクトル(赤)より90°遅れている
と言います。
先ほどと同様、0.005秒後は図7のとおりになります。
図7
電圧と遅れ電流1
ちなみにインダクタンスの代わりにコンデンサを接続した場合は、
電流ベクトル(青)が電圧ベクトル(赤)より90°進む
ので、
ベクトル図では電流ベクトル(青)が電圧ベクトル(赤)より90°、反時計まわり方向にずれることになります。
ベクトル図は交流の電圧と電流の位相を考えるときにわかりやすいので積極的に活用しましょう。

ベクトルの表し方

複素数表示

図8
ベクトルの複素数表示
図8はベクトルAの図です。
このベクトルAの先端の点は(a,b)と表せます。そしてx軸は実数、y軸は虚数を目盛ってありますので、
A=a+jbとなります。これを複素数表示といいます。
複素数表示にはjという虚数単位を使用します。
数学ではiと習ったと思いますが、電気数学ではiは電流と混同されやすいため、jとしています。jはiと同じ意味です。
j=√-1ですので、すべての虚数はj(実数)という形で表すことができます。
A=a+jbですので、Aの大きさAは三平方の定理より
A=√(a2+b2)
となります。
そしてAとx軸のなす角θは
θ=tan-1 b/a
となります。

極形式表示

図8
ベクトルの複素数表示
図8より
a=Acosθ
b=Asinθ
ですので、
A=Acosθ+jAsinθ
と表すことができます。これを極形式といいます。
また、
cosθ+jsinθ=ε
という公式があります。これをオイラーの公式といいます。
よって
A=Acosθ+jAsinθ=Aε
となります。これを指数形の極形式といいます。

極座標表示

図8
ベクトルの複素数表示
ベクトルAの大きさをAとすると
A=A∠θ°
と表すことができます。これを極座標表示といいます。

3相交流のベクトル

ベクトル図は3相交流を考える際に重宝します。図9のような対称3相交流電源があったとします。
図9
3相交流電源
各電圧をベクトル図に表示すると図10のようになります。
図10
3相交流のベクトル図1
仮に6.6kV配電線で考えると、線間電圧=6600[V]なので相電圧Eは、
E=6600/√3≒3810.5
Ea=3810.5
図11
3相交流のベクトル図2
Ea=3810.5よりEaの大きさEa=3810.5になります。
また、各相電圧の大きさは対称3相電源であるため等しいので
Ea=Eb=Ec
EaEbEcのなす角はそれぞれ120[°]なので、
Eb=-1/2Ea-j√3/2Ea=-1905.3-j3300
Ec=-1/2Ea+j√3/2Ea=-1905.3+j3300
となります。




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