ガウスの定理

ガウスの定理とは

電荷と電気力線の関係

任意の閉曲面から出て行く電気力線の総数は、その閉曲面に含まれる電荷の総和の１／εになります。これをガウスの定理といいます。εは電荷周囲の媒質の誘電率です。

電気力線と電束

電束とは

電束とは点電荷から放出される電気力線の束です。
点電荷Ｑ［Ｃ］からはＱ［束］の電束が放出されます。
電束１［束］は電気力線が１／ε［本］束ねられたものになります。

電界の強さ

図１

図１は点電荷Ｑ［Ｃ］を、任意の閉曲面である半径ｒの球体内に置いた図です。
ガウスの定理より、電気力線の総数をＮ［本］、任意の閉曲面内の電荷の総和をＱ［Ｃ］、誘電率をεとすると
Ｎ＝Ｑ／ε
が成立します。
電気力線の総数を任意の閉曲面の面積で割ることにより、電気力線の密度が求められます。半径ｒの球体の面積は
Ｓ＝４πｒ^２
です。電気力線の総数を半径ｒの球体の面積で割ると
Ｎ／Ｓ＝（Ｑ／ε）／４πｒ^２
＝Ｑ／４πεｒ^２
となります。
任意の面１［�u］を垂直に通過する電気力線の本数が電界の強さと等しくなります。
つまり図１において、電気力線の密度は電界の強さＥ［Ｖ／ｍ］と等しくなります。
よって
Ｅ＝Ｑ／４πεｒ^２
が成立します。
閉曲面の面積、閉曲面内の電荷の総和、誘電率がわかれば、閉曲面表面の電界の強さが求められることになります。

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