過渡現象（Ｒ−Ｃ直列回路）

Ｒ−Ｃ直列回路に流れる電流を求める

図１

図１の抵抗Ｒと静電容量Ｃの直列回路で、ｔ＝０でスイッチを投入した場合の電流を求めます。
スイッチを入れる前は静電容量Ｃは充電されていない状態、つまりｔ＝０で静電容量Ｃの電荷ｑ＝０とします。
電流ｉは、単位時間に静電容量に蓄えられた電荷の量と等しいので、
ｉ＝　ｄｑ／ｄｔ
キルヒホッフの法則により、微分方程式
Ｒ　ｄｑ／ｄｔ　＋ｑ／Ｃ＝Ｅ
が成り立ちます。この微分方程式を変数分離します。
Ｒ　ｄｔ／ｄｑ　＝Ｅ−ｑ／Ｃ
＝（ＣＥ−ｑ）／Ｃ
ｄｑ／ｄｔ＝（ＣＥ−ｑ）／ＣＲ
ｄｔ＝｛ＣＲ／（ＣＥ−ｑ）｝ｄｑ
両辺を積分します。
∫ｄｔ＝∫｛ＣＲ／（ＣＥ−ｑ）｝ｄｑ
ｔ＝ＣＲ∫｛１／（ＣＥ−ｑ）｝ｄｑ
∫（１／ｘ）ｄｘ＝ｌｏｇ　ｘより、ｘ＝（ＣＥ−ｑ）として置換積分をすると、
ｔ＝ＣＲ　ｌｏｇ　（ＣＥ−ｑ）×（−１）＋ｋ
＝−ＣＲ　ｌｏｇ　（ＣＥ−ｑ）＋ｋ
となります。ｋは積分定数です。
この式を整理すると、
ｔ−ｋ＝−ＣＲ　ｌｏｇ　（ＣＥ−ｑ）
（−１／ＣＲ）（ｔ−ｋ）＝ｌｏｇ　（ＣＥ−ｑ）
Ｙ＝ｌｏｇ　Ｘ　は、Ｘ＝ε^Ｙという意味ですので、
ＣＥ−ｑ＝ε^{（−１／ＣＲ）（ｔ−ｋ）}
＝ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}　×　ε^{（−１／ＣＲ）（−ｋ）}
となります。
ε^{（−１／ＣＲ）（−ｋ）}＝Ｋと置くと、
ＣＥ−ｑ＝Ｋε^{（−１／ＣＲ）ｔ}　・・・�@
スイッチを投入する前の静電容量Ｃの電荷ｑ＝０であり、ｔ＝０でスイッチを投入したので、ｔ＝０でｑ＝０となります。これを代入すると、
ＣＥ−０＝Ｋε^０
ＣＥ＝Ｋ
よって�@式は
ＣＥ−ｑ＝ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}
−ｑ＝ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}−ＣＥ
ｑ＝−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}＋ＣＥ
＝ＣＥ｛１−ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}｝　・・・�A
となります。
電流ｉは、
ｉ＝　ｄｑ／ｄｔ
＝ｄ／ｄｔ　ＣＥ｛１−ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}｝
＝−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}×（−１／ＣＲ）
＝（−ＣＥ／−ＣＲ）ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}
＝Ｅ／Ｒ　ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}
となります。

定常項と過渡項

静電容量の電荷は、 �A式のように
ｑ＝ＣＥ｛１−ε^{（−１／ＣＲ）ｔ}｝
と求められました。�A式は
ｑ＝ＣＥ−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}　・・・�B
と変換できます。
ＣＥの部分は定常項といい、−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}は過渡項といいます。
定常項は時間の変化に関係なく一定であり、過渡項は時間の変化によって変化する部分です。

過渡項に着目すると、ｔ＝０のとき過渡項は
−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}＝−ＣＥε^０
＝−ＣＥ
となり、�B式は
Ｑ＝ＣＥ−ＣＥ
＝０
となります。スイッチを投入する前の静電容量Ｃの電荷ｑ＝０であり、ｔ＝０でスイッチを投入したので、ｔ＝０でｑ＝０となります。
逆にｔ＝∞のときは、
−ＣＥε^{（−１／ＣＲ）ｔ}＝−ＣＥε^−∞
＝０
となり、�B式は
ｉ＝ＣＥ−０
＝ＣＥ
となります。ｔ＝∞、つまりスイッチを投入後長時間経つと電荷はＣＥとなります。
静電容量Ｃの両端の電圧はＥになるため電流が０となり、定常状態になります。

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