正弦波交流

正弦波交流の特徴

正弦波交流とは

正弦波交流は、グラフ１のような波形を描く交流をいいます。
グラフ１

グラフ１は、縦軸を電圧、横軸を時間として正弦波交流の電圧を描いています。
電力会社から供給される電力も正弦波交流です。

周期

グラフ１の時間０．０００［ｓ］から０．０２０［ｓ］までの、山が１つ、谷が１つの時間を周期やサイクルといいます。よってグラフ１は１周期分（１サイクル分）の波形ということになります。

周波数

周波数とは

１秒間に＋から−に切り替わる回数を周波数と言い、単位はＨｚ（ヘルツ）です。１Ｈｚは１秒間のうち０．５秒は＋、残りの０．５秒は−ということになります。
周波数をｆ［Ｈｚ］、周期をＴ［ｓ］とすると、
ｆ＝１／Ｔ
が成り立ちます。グラフ１は周期が０．０２０［ｓ］なので、周波数ｆは、
ｆ＝１／Ｔ
＝１／０．０２０
＝５０
となり、５０［Ｈｚ］の正弦波交流であることがわかります。

電力会社で用いられている商用周波数

電力会社が供給する電力の周波数を商用周波数といいます。日本では、静岡県の富士川から新潟県の糸魚川あたりを境にして、東側が５０Ｈｚ、西側が６０Ｈｚの商用周波数が用いられていますので、東京は５０Ｈｚの電力が電力会社から供給されています。
５０Ｈｚは１秒間に５０サイクルですから、５０個の＋と５０個の−が交互に入れ替わります。１秒間に＋と−が５０個ずつということは１秒÷５０Ｈｚ÷２＝０．０１秒ごとに＋と−が入れ替わることになります。 初めの０秒から０．０１秒までが＋で、０．０１秒から０．０２秒までが−というふうに、規則的に変化します。

瞬時値

瞬時値と瞬時式

直流１００Ｖは、常時１００Ｖぴったりの電圧が＋−が入れ替わることがありません。しかし正弦波交流は、＋と−が交互に入れ替わります。そして、グラフ１を見ればわかるように、＋の期間も−の期間も瞬間の電圧は一定ではなく、刻々と変化し続けます。１００Ｖの正弦波交流の場合、＋の期間では０〜１４１．２Ｖ、−の期間では−１４１．２〜０Ｖまで変化しています。その瞬間、瞬間の値を瞬時値といいます。
電圧の瞬時値をＶ[Ｖ]、電圧の最大値をＶｍ[Ｖ]、周波数ｆ［Ｈｚ］、時間をｔ［ｓ］とすると、正弦波交流の瞬時電圧Ｖは
Ｖ＝Ｖｍsin２πｆｔ
瞬時電流Ｉは
Ｉ＝Ｉｍsin２πｆｔ
となります。これを瞬時式といいます。

実効値

実効値とは

「家庭のコンセントの電圧は１００Ｖ」といいますが、この１００Ｖというのは実効値です。
交流１００Ｖというのは正確に言うと「電圧の実効値が１００Ｖの交流」です。

なぜ実効値で表すのか

交流の１００［Ｖ］１［Ａ］と、直流の１００［Ｖ］１［Ａ］をエネルギー的に等価にしないと、交流の１００Ｗのヒーターと、直流の１００Ｗのヒーターでは発生する熱が異なってしまうといった不都合が生じます。交流の１００［Ｖ］１［Ａ］と、直流の１００［Ｖ］１［Ａ］をエネルギー的に等価にした場合、交流の１００［Ｖ］は電圧の実効値、１［Ａ］は電流の実効値といいます。

直流と交流をエネルギー的に等価にする方法

抵抗Ｒ［Ω］のヒーターを直流電源に接続した場合、直流電流をＩｄ［Ａ］、通電時間をＴ［ｓ］とすると、消費される電力量Ｗｄ［Ｗｓ］は、
Ｗｄ＝Ｉｄ^２ＲＴ
となります。
しかし抵抗Ｒ［Ω］のヒーターを交流電源に接続した場合は少々厄介です。電流は刻々と変化しますので、瞬間、瞬間で電力を計算し、通電時間Ｔ［ｓ］分合計しなければいけません。
しかし簡単に計算する方法があります。簡単な例で説明します。
抵抗Ｒ［Ω］のヒーターを直流電源に接続した場合、直流電流をＩｄ［Ａ］、通電時間をＴ［ｓ］とすると、消費される電力量Ｗｄ［Ｗｓ］は
Ｗｄ＝Ｉｄ^２ＲＴ
で求められます。
ここでＲを２［Ω］とし、直流電流Ｉｄが
０〜１［ｓ］までが２［Ａ］
１〜２［ｓ］までが３［Ａ］
２〜３［ｓ］までが４［Ａ］
というように変化したとします。
０〜１［ｓ］までに消費される電力Ｗ１は
Ｗ１＝Ｉ^２ＲＴ
＝２^２×２×１
＝８
以下同様に
１〜２［ｓ］までに消費される電力Ｗ２は
３^２×２×１
＝１８
２〜３［ｓ］までに消費される電力Ｗ３は
４^２×２×１
＝３２
よって０〜３［ｓ］までに消費される電力は
Ｗ１＋Ｗ２＋Ｗ３
＝８＋１８＋３２
＝５８［Ｗｓ］
となります。
これを別の方法で計算してみます。
まず０〜３［ｓ］の間の電流の２乗の平均値を求めます。
（２^２＋３^２＋４^２）／３
＝（４＋９＋１６）／３
＝２９／３
そして電流の２乗の平均値にＲ＝２［Ω］とＴ＝３［ｓ］をかけます。
（２９／３）×２×３
＝５８［Ｗｓ］
となり、当たり前ですが同じ値が導かれます。
この変化する直流電流を交流電流と考えると、交流電流瞬時値を２乗して抵抗Ｒをかけたものを０〜Ｔ［ｓ］分合計するということは、交流電流瞬時値の２乗の平均値に抵抗ＲとＴ［ｓ］をかけたものと等しいということです。
よって交流電流の瞬時値をＩａ［Ａ］、通電時間をＴ［ｓ］とすると、消費される電力量Ｗａ［Ｗｓ］は、
Ｗａ＝（Ｉａ^２の平均値）ＲＴ
となります。
直流の電力量Ｗｄと交流の電力量Ｗａを等価にするためには、
Ｗｄ＝Ｗａ
が成立しなければいけないので
Ｗｄ＝Ｗａ
Ｉｄ^２ＲＴ＝（Ｉａ^２の平均値）ＲＴ
Ｉｄ^２＝Ｉａ^２の平均値
Ｉｄ＝√（Ｉａ^２の平均値）
より、交流電流の瞬時値Ｉａ［Ａ］の２乗の平均値の平方根が、直流電流Ｉｄ［Ａ］と等しくしなければいけません。
交流電流の瞬時値の２乗の平均値の平方根を実効値といいます。
交流電流の瞬時値Ｉａ［Ａ］の瞬時式を
Ｉａ＝Ｉｍsin２πｆｔ
とすると、交流電流の瞬時値Ｉａの２乗は、
Ｉａ^２＝Ｉｍ^２sin^２２πｆｔ
ｓｉｎ^２θ＝（１−ｃｏｓ２θ）／２なので
Ｉａ^２＝Ｉｍ^２（１−ｃｏｓ４πｆｔ）／２
となります。ｃｏｓ４πｆｔの平均は０なので
（Ｉａ^２の平均）＝Ｉｍ^２／２
Ｉｍ^２＝２（Ｉａ^２の平均値）
Ｉｍ＝√２×（Ｉａ^２の平均値の平方根）
＝√２×実効値
となります。よって実効値の√２倍が最大値になることがわかり、交流電流の瞬時値Ｉａ［Ａ］の瞬時式を
Ｉａ＝Ｉｍsin２πｆｔ
＝Ｉｒ√２sin２πｆｔ
と変形することができます。
電圧の瞬時式も同様に
Ｖ＝Ｖｍsin２πｆｔ
＝Ｖｒ√２sin２πｆｔ
と変形できます。
sin２πｆｔはｆとｔの値によって変化しますが、最小は０、最大はsin２πｆｔ＝１です。よって交流電圧の最大値はＶｒ√２、つまり実効値の√２倍となります。グラフ１を見ると、一番高いところが１００Ｖの√２倍である、１４１．２Ｖくらいを示しているのがわかります。

平均値

正弦波交流は＋と−が入れ替わりますので、１周期分を平均すると０になってしまいます。そこで＋部分の半周期分の平均を平均値といいます。
最大値Ｉｍの正弦波交流電流の平均値Ｉａｖｅは
Ｉａｖｅ＝２Ｉｍ／π
となります。

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